[2016년 대진고]

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[1학년 2학기 중간]

두 집합
[eqn: A=left{2,```4,```a^3 -2a^2 -a+7 right],
[eqn: B=left{-4,```a+3,```a^2 -2a+2,```a^3 +a^2 +3a+7 right}]
에 대하여 [eqn: A capB=left{2,```5 right}]가 되는 실수 [eqn: a]의 값을 구하면?

③

① [eqn: -1]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 6]

두 집합 [eqn: A= left{x`|`x는```6의```약수right}], [eqn: B= left{x`|`x는```18의```약수right}]에 대하여 [eqn: A cap X =A], [eqn: B cup X= B]를 만족시키는 집합 [eqn: X]의 개수를 구하면?

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

집합 [eqn: X], [eqn: Y]에 대하여 연산 [eqn: ◉]를 [eqn: X◉ Y=(X cupY)cap(X capY)^c]로 정의하고 세 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]가 [eqn: n(A cupB cupC)=50], [eqn: n(A ◉ B)=20], [eqn: n (B ◉ C)=22], [eqn: n(C ◉ A)=30]을 만족할 때, [eqn: n(A cap B cap C)]의 값을 구하면?

⑤

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

집합 [eqn: A= left{1,```2,```3,```4,```5,```6,```7right}]의 부분집합 중 [eqn: 1]을 원소로 가지고 [eqn: 6]을 원소로 가지지 않는 부분집합을 각각 [eqn: A_1], [eqn: A_2], [eqn: A_3], [eqn: cdots], [eqn: A_n]이라 하고, 집합 [eqn: A_k (k=1,```2,```3,```cdots,```n)]의 모든 원소의 합을 [eqn: S_k]라고 하자. 이때, [eqn: S_1 +S_2 +S_3 +cdots+S_n]의 값을 구하면?

①

① [eqn: 368]	② [eqn: 370]	③ [eqn: 372]

④ [eqn: 374]	⑤ [eqn: 376]

세 조건
‘[eqn: p:x=2]’,
‘[eqn: q:x^2 -(a+1)x+a=0]’,
‘[eqn: r:x^2 +bx+c=0]’
에 대하여 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이고 [eqn: q]는 [eqn: r]이기 위한 필요충분조건일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 값의 합을 구하면?

③

① [eqn: -4]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

명제 ‘어떤 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식
[eqn: x^2 +6x+k^2 -1=0]은 정수인 해를 갖는다.’가 참이 되도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수를 구하면?

②

① [eqn: 2]개	② [eqn: 4]개	③ [eqn: 6]개

④ [eqn: 8]개	⑤ [eqn: 10]개

참인 명제만을 보기에서 있는 대로 고르면?

④

ㄱ. [eqn: a+b]가 유리수이면 [eqn: a], [eqn: b] 중 적어도 하나는

유리수이다.

ㄴ. [eqn: a^2 >b^2]이면 [eqn: a>b]이다.

ㄷ. 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b>0]이면 [eqn: ab>0]이다.

ㄹ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 + { 1} over { 4}ge x]이다.

ㅁ. 사각형 [eqn: rmABCD]가 마름모이면 사각형 [eqn: rmABCD]는

정사각형이다.

ㅂ. 자연수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: xy]가 홀수이면 [eqn: x^2 +y^2]은

짝수이다.

① ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ	② ㄴ, ㄷ, ㄹ	③ ㄱ, ㄹ, ㅁ, ㅂ

④ ㄹ, ㅂ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㅂ

전체집합 [eqn: U]에서 정의된 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라고 하자. 명제 [eqn: p->SIMq]가 참일 때, 다음 중에서 항상 옳은 것을 고르면?

⑤

① [eqn: P cupQ=P]	② [eqn: Q-P=emptyset]	③ [eqn: P CUP Q ^{c} =P]

④ [eqn: P-Q=emptyset]	⑤ [eqn: P capQ=emptyset]

산술평균과 기하평균 사이의 관계 [eqn: { a+b} over { 2} ge sqrt { ab}]를 증명하는 두 가지 [그림1], [그림2]의 도형의 길이가 다음과 같을 때 산술평균과 기하평균에 해당하는 선분을 각각 순서대로 나열한 것은? (단, [그림1] [eqn: b ge a >0]이고, 점 [eqn: rmO]는 반원의 중심, [그림2] [eqn: a ge b>0]이고, 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 각 원의 중심이고 두 원은 접한다.)

④

[그림1]	[그림2]

	[그림1]	[그림2]
①	[eqn: rmbarDB], [eqn: rmbarAD]	[eqn: rmbarAB], [eqn: rmbarAC]
②	[eqn: rmbarDO], [eqn: rmbarAD]	[eqn: rm bar{BC}], [eqn: rmbarAC]
③	[eqn: rmbarAD], [eqn: rmbarDM]	[eqn: rmbarAB], [eqn: rm bar{BC}]
④	[eqn: rmbarCO], [eqn: rmbarDM]	[eqn: rmbarAB], [eqn: rm bar{BC}]
⑤	[eqn: rmbarCO], [eqn: rmbarDM]	[eqn: rmbarAB], [eqn: rmbarAC]

다음은 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: x], [eqn: y]가 실수일 때,
[eqn: (a^2 +b^2 )(x^2 +y^2 ) ge (ax+by)^2]
임을 증명한 것이다.

위의 부등식을 활용하면 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여
[eqn: (a ^{2} +1)(b ^{2} +4)=121]일 때, [eqn: ab]의 최댓값을 (라)라고 구할 수 있다. 이 때, (가)~(라)에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

[eqn: (a ^{2} +b ^{2} )(x ^{2} +y ^{2} )-(ax+by) ^{2}# ```````=a ^{2} x ^{2} +a ^{2} y ^{2} +b ^{2} x ^{2} +b ^{2} y ^{2} -a ^{2} x ^{2} -(가)-b ^{2} y ^{2}# ``````=a ^{2} y ^{2} -(가)+b ^{2} x ^{2}# ``````=(나) GEQ 0]

따라서 [eqn: (a^2 +b^2 )(x^2 +y^2 ) ge (ax+by)^2]이다.

단, 등호는 (다)일 때 성립한다.

③

① [eqn: -2abxy], [eqn: (ax-by) ^{2}], [eqn: ay=bx], [eqn: 6]

② [eqn: 2abxy], [eqn: (ay-bx) ^{2}], [eqn: ay=bx], [eqn: 7]

③ [eqn: 2abxy], [eqn: (ay-bx) ^{2}], [eqn: ay=bx], [eqn: 9]

④ [eqn: -2abxy], [eqn: (ax-by) ^{2}], [eqn: ax=by], [eqn: 11]

⑤ [eqn: 2abxy], [eqn: (ay-bx) ^{2}], [eqn: ax=by], [eqn: 13]

집합 [eqn: X= LEFT { a,```b,```c RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 보기의 함수들의 개수의 합을 구하면?

③

ㄱ. [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수

ㄴ. [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 일대일 대응

ㄷ. [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 항등함수

ㄹ. [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 상수함수

① [eqn: 10]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 37]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 58]

[eqn: a>0], [eqn: b>0]일 때, [eqn: (a+b)left( { 1} over { a}+ { 1} over {b }right)]의 최솟값을 구하면?

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

두 함수 [eqn: f(x)=x+2], [eqn: g(x)=2x+3]에 대하여
[eqn: ((f circg^-1 )^-1 circf circg^-1 )(1)]을 구하면?

②

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=|-x+2|+2ax-5]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가 일대일 대응이 되도록 하는 양의 정수 [eqn: a]의 최솟값은?

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

집합 [eqn: X= LEFT { x`|`x lea RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수
[eqn: f(x)=-x^2 -3x+32]의 역함수가 존재할 때 상수 [eqn: a]는?

①

① [eqn: -8]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

함수 [eqn: y=f(x)]의 역함수를 [eqn: y=h(x)]라 할 때, 함수
[eqn: y=f(2x-1)]의 역함수는 [eqn: y=ah(x)+b]로 나타낼 수 있다. 이 때, [eqn: a+b]의 값은?

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

서술형

전체집합 [eqn: U=left{2,```4,```6,```8,```10right]의 부분집합 [eqn: X]에 대하여 [eqn: S(X)]를 집합 [eqn: X]의 모든 원소들의 합이라고 하자. [eqn: A cupB=U], [eqn: A capB=emptyset]를 만족하는 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: S(A) timesS(B)=200]을 만족하는 순서쌍 [eqn: (A,```B)]를 구하는 과정을 서술하시오.
(단, [eqn: S(A)>S(B)])

[eqn: A=left{2,```8,```10right}], [eqn: B=left{4,```6right}] 또는

[eqn: A= LEFT { 4,```6,```10 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 2,```8 RIGHT }] 또는

[eqn: A= LEFT { 2,```4,```6,```8 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 10 RIGHT }]

두 조건 ‘[eqn: p:|2x-3|-|x-5| le 0]’, ‘[eqn: q:|x-a|le 1]’에 대하여 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건을 만족하는 [eqn: a]값의 범위를 구하는 과정을 서술하여라.

[eqn: -1 le a le { 5} over { 3}]

함수 [eqn: f(x)=left[- { 1} over {2 }x+1 right]+left[ { 1} over {2 }x right]]에 대하여
[eqn: f` ^{n+1} (x)=(f CIRC f` ^{n} )(x)]([eqn: n]은 자연수, [eqn: f` ^{1} =f])일 때,
[eqn: f` ^{2016} (-1)+f` ^{2017} (-1)]의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
(단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[eqn: 1]

[2016년 대진고]

[1학년 2학기 중간]

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